L'equació de continuïtat és una llei física que estableix que la quantitat de massa o fluid que entra en un sistema tancat és igual a la quantitat de massa o fluid que surt del sistema al mateix període de temps.
En termes matemàtics, l'equació de continuïtat s'expressa mitjançant la fórmula següent:
A1 * v1 = A2 * v2
On:
-
A1 i A2 són les àrees transversals del conducte o canonada als punts 1 i 2 respectivament.
-
v1 i v2 són les velocitats del fluid als punts 1 i 2 respectivament.
D'acord amb l'equació de continuïtat, si l'àrea transversal del conducte o canonada per la qual el fluid flueix es manté constant, llavors la velocitat del fluid i el cabal estan inversament relacionats. En altres paraules, si la velocitat del fluid augmenta, el cabal disminueix i viceversa.
Per què serveix l'equació de continuïtat?
L'equació de continuïtat té múltiples aplicacions a la física i l'enginyeria, en particular a la mecànica de fluids. A continuació, es presenten algunes de les principals aplicacions:
-
Disseny de sistemes de canonades: s'utilitza per calcular el cabal i la velocitat del fluid en diferents punts del sistema de canonades, cosa que permet dimensionar el diàmetre i la longitud de les canonades per garantir un flux constant i uniforme.
-
Anàlisi del flux en conductes i canals: s'aplica per analitzar el flux de líquids en conductes i canals, permetent determinar la velocitat i el cabal a diferents punts del sistema.
-
Optimització de l'eficiència de sistemes hidràulics: s'utilitza per optimitzar l'eficiència de sistemes hidràulics, com ara turbines i bombes, ja que permet calcular el cabal i la velocitat del fluid en diferents punts del sistema i determinar la geometria òptima dels components del sistema.
Per a quin tipus de fluids és vàlida?
L'equació de continuïtat és vàlida per a qualsevol tipus de fluid, sempre que el fluid sigui incompressible i el flux sigui estacionari, és a dir, que la velocitat i les propietats del fluid en qualsevol punt del sistema no variïn amb el temps.
Un fluid incompressible és aquell que té una densitat constant i no en canvia el volum en resposta a l'aplicació d'una pressió.
Exemples dús de l'equació de continuïtat
A continuació, es presenten alguns exemples de la seva aplicació:
Flux de líquid en un tub
Un exemple clàssic daplicació de l'equació de continuïtat és el flux de líquid en un tub.
Suposem que un líquid flueix a través d'un tub de secció transversal A1 amb una velocitat v1 i després entra en un tub de secció transversal A2 amb una velocitat v2 .
Mitjançant aquesta equació podem dimensionar les seccions del tub per alterar la velocitat del flux.
Flux d'aigua en un riu
L´equació de continuïtat també s´aplica al flux d´aigua en un riu.
Aquesta equació es fa servir per calcular la velocitat de l'aigua en diferents punts del riu. Per tant, es pot predir el comportament del riu en diferents condicions, com ara quan es construeixen preses o es fan obres d'enginyeria per al control d'inundacions.
Exercicis resolts sobre l'equació de continuïtat en un fluid
Exercici 1
Un tub de secció transversal de 0,02 m² transporta aigua a una velocitat de 2 m/s. Si el diàmetre del tub es redueix a la meitat del valor original, quina és la velocitat de l'aigua al tub estret?
Solució:
L'equació de continuïtat estableix que el cabal volumètric del fluid que flueix a través del tub és constant al llarg del flux. Per tant, podem escriure:
A1 v1 = A2 v2
on A1 és la secció transversal original del tub, v1 és la velocitat original de l'aigua, A2 és la secció transversal del tub estret i v2 és la velocitat de l'aigua al tub estret.
Tenim A2 = A1 / 4, ja que el diàmetre del tub es redueix a la meitat del seu valor original, per tant A2 = π(0.01 m)² = 0.000314 m².
Substituint els valors coneguts a l'equació de continuïtat, obtenim:
0.02 m² × 2 m/s = 0.000314 m² × v2
v2 = (0.02 m² × 2 m/s) / 0.000314 m² = 127.39 m/s
Per tant, la velocitat de l'aigua al tub estret és de 127.39 m/s.
Exercici 2
Una canonada de 0,1 m de diàmetre transporta aigua a una velocitat de 2 m/s. Si s'hi afegeixen dues canonades de 0,05 m de diàmetre, quina és la velocitat de l'aigua en cadascuna de les canonades més petites?
Solució:
La secció transversal d'una canonada de 0,1 m de diàmetre és A 1 = π(0.05 m)² = 0.00785 m². Per tant, el cabal volumètric d'aigua que flueix per la canonada de 0,1 m és:
Q = A1 v1 = 0.00785 m² × 2 m/s = 0.0157 m³/s
La secció transversal d'una canonada de 0,05 m de diàmetre és A2 = π(0.025 m)² = 0.0001963 m². Com que hi ha dues canonades de 0,05 m de diàmetre, l'àrea total és A3 = 2A2 = 0.0003926 m². Per tant, el cabal volumètric d'aigua que flueix per les dues canonades de 0,05 m és:
Q = A3 v3
v 3 = Q/A 3 = 0.0157 m³/s / 0.0003926 m² = 40.11 m/s
Per tant, la velocitat de l'aigua a cadascuna de les canonades de 0,05 m de diàmetre és de 40,11 m/s.