El model atòmic de Sommerfeld és una extensió del model atòmic de Bohr. Va ser desenvolupat el 1916 pel físic alemany Arnold Sommerfeld, amb la col·laboració de Peter Debye.
Sommerfeld va incorporar conceptes de la teoria de la relativitat d'Albert Einstein, ja que va descobrir que en certs àtoms, els electrons aconseguien velocitats properes a la velocitat de la llum.
Principals modificacions del model de Sommerfeld respecte del de Bohr
- Òrbites el·líptiques: A diferència del model de Bohr, on els electrons només descriuen òrbites circulars, Sommerfeld va demostrar que també es poden moure en òrbites el·líptiques al voltant del nucli atòmic.
- Subnivells energètics: A partir del segon nivell energètic, hi ha subnivells dins d'un mateix nivell, cosa que explica l'estructura fina dels espectres atòmics.
- Correccions relativistes: Sommerfeld va incloure correccions relativistes per a electrons que es desplacen a velocitats comparables a la de la llum.
- Introducció del nombre quàntic azimutal (ℓ): Aquest nou nombre quàntic determina la forma dels orbitals i el moment angular de l'electró.
Limitacions del model atòmic de Bohr
El model de Bohr explicava amb gran precisió l'espectre de l'hidrogen, però presentava problemes en aplicar-se a àtoms amb més d'un electró. En aquests casos, els electrons d'un mateix nivell energètic podien presentar energies diferents, cosa que no s'ajustava completament als espectres observats experimentalment.
Per a àtoms com l'hidrogen i l'ió He+, l'energia de les capes era igual, però en àtoms amb diversos electrons apareixien nivells energètics addicionals que generaven un nombre més gran de línies espectrals.
Solució de Sommerfeld
Per resoldre aquests problemes, Sommerfeld va proposar l'existència de subnivells dins un mateix nivell energètic, cosa que permetia diferències en l'energia dels electrons dins un mateix nivell principal. A més, els seus càlculs relativistes van demostrar que alguns electrons assolien velocitats properes a la de la llum, cosa que requeria ajustaments en la teoria quàntica.
El model de Sommerfeld va introduir dues modificacions fonamentals:
- Consideració de velocitats relativistes en el moviment dels electrons.
- Inclusió d'òrbites el·líptiques juntament amb les circulars, explicant millor l'estructura fina dels espectres.
Aquestes millores van portar a la introducció de nous números quàntics:
- Número quàntic principal (n): Determina el nivell energètic.
- Número quàntic azimutal (ℓ): Descriu la forma de l'òrbita.
- Número quàntic radial (n'): Relacionat amb el moment angular.
- Número quàntic lateral (k): Descriu el moment angular de l'electró a l'hidrogen.
Fórmula de Wilson-Sommerfeld
Sommerfeld també va introduir la fórmula de Wilson-Sommerfeld , una expressió matemàtica fonamental per a la quantificació de les òrbites atòmiques:
on:
- p és el moment de l'electró.
- dq representa el diferencial de la funció de coordenades genèriques.
- n és un nombre quàntic natural.
- h és la constant de Planck.
Aquesta equació establia una restricció addicional sobre la quantificació de les òrbites atòmiques, refinant el model de Bohr.
Impacte del model de Sommerfeld
El model atòmic de Sommerfeld va representar un gran avenç en la comprensió de l'estructura atòmica i els espectres d'emissió dels àtoms. Encara que posteriorment va ser reemplaçat pel model mecànic-quàntic basat en l'equació de Schrödinger, els seus conceptes van establir les bases per a la teoria moderna dels orbitals atòmics.
En resum, el model de Sommerfeld va permetre:
- Explicar l'estructura fina dels espectres atòmics.
- Introduir correccions relativistes als electrons d'alta velocitat.
- Ampliar la teoria quàntica amb nous números quàntics.
- Servir com a pont entre el model de Bohr i la mecànica quàntica moderna.
Gràcies a aquestes aportacions, el model de Sommerfeld va ser un pas crucial a l'evolució de la física atòmica i quàntica.