Quan empenyem una bicicleta per fer-la avançar, sabem que la massa de la bicicleta influeix en la quantitat d'esforç que cal aplicar. Però què passa si en lloc d'empènyer-la en línia recta, volem fer-la girar? Aquí entra en joc un concepte crucial a la física rotacional: el moment d'inèrcia.
El moment d'inèrcia és un concepte vinculat amb la dinàmica rotacional, equivalent al paper que juga la massa al moviment lineal.
Què és el moment de la inèrcia?
El moment d'inèrcia (I) és una mesura que tan difícil és canviar l'estat de rotació d'un objecte al voltant d'un eix. És a dir, és la resistència que té un objecte a canviar-ne el moviment rotacional.
Si alguna vegada has intentat obrir una porta empenyent-la a prop de les frontisses en lloc de fer-ho des de la vora, hauràs notat que cal més esforç. Això és perquè el moment d'inèrcia depèn tant de la massa com de la seva distribució respecte a l'eix de gir.
Fórmula del moment d'inèrcia
Matemàticament, el moment d'inèrcia es defineix com:
On:
- \(m \) és la massa d'un petit element de l'objecte,
- \(r \) és la distància d'aquesta massa a l'eix de rotació,
- La suma indica que ho hem de calcular per a totes les parts de l'objecte.
Factors que afecten el moment d'inèrcia
El moment d'inèrcia no depèn només de la quantitat de massa d'un objecte, sinó també de com està distribuïda aquesta massa respecte a l'eix de rotació.
Dos objectes amb la mateixa massa poden tenir moments d'inèrcia molt diferents depenent de la forma i com es distribueix la massa.
1. Distribució de la massa
Com més lluny estigui la massa de l'eix de rotació, més gran serà el moment d'inèrcia. Això explica per què és més difícil girar una vareta llarga que una curta, fins i tot si totes dues tenen la mateixa massa.
2. Forma de lobjecte
Diferents formes tenen diferents equacions per calcular el moment d'inèrcia. Per exemple:
- Per a un disc sòlid que gira al voltant del seu centre: \( I = \frac{1}{2} MR^2 \)
- Per a un cèrcol fi: \( I = MR^2 \)
- Per a una barra prima girant al voltant del seu centre: \( I = \frac{1}{12} ML^2 \)
Com pots notar, els factors varien depenent de com està distribuïda la massa a l'objecte.
3. Eix de rotació
El moment d‟inèrcia canvia si l‟eix de rotació canvia. Per exemple, si una barra gira al voltant del centre, el moment d'inèrcia serà diferent que si gira al voltant d'un extrem. Aquest principi és conegut com el teorema de Steiner o teorema dels eixos paral·lels.
Relació amb la segona llei de Newton per a rotació
Al moviment lineal, la segona llei de Newton estableix que la força aplicada a un objecte és igual a la seva massa multiplicada per l'acceleració (). A la rotació, l'equació equivalent és:
On:
- \( \tau \) és el torc o moment de força,
- I és el moment d'inèrcia,
- \( \alpha \) és l'acceleració angular.
Això significa que, igual que una massa més gran requereix més força per accelerar un objecte en línia recta, un moment d'inèrcia més gran requereix més torcament per canviar la velocitat de rotació d'un objecte.
Càlcul del moment d'inèrcia a diferents objectes
A continuació, alguns valors típics de moments d'inèrcia per a diferents cossos:
- Cilindre sòlid de radi i massa: \( I = \frac{1}{2} MR^2 \)
- Cèrcol prim de ràdio i massa : \( I = MR^2 \)
- Esfera sòlida de ràdio i massa : \[(I = \frac{2}{5} MR^2 \)
- Barra prima de longitud , girant al voltant d'un extrem: \( I = \frac{1}{3} ML^2 \)
Cadascuna d'aquestes fórmules mostra com la distribució de la massa afecta el moment d'inèrcia.
Exemples quotidians
Alguns exemples quotidians on apareix aquest fenomen físic inclouen:
- Rodes de bicicleta : Quan pedalegeu una bicicleta, les rodes tenen un moment d'inèrcia que fa que sigui més difícil accelerar o frenar el gir de les rodes. Com més gran és el radi de la roda o la massa, més gran és el moment d'inèrcia.
- Gir d'una porta : Si empenyes una porta per la vora per obrir-la, és més difícil que si empenyessis al centre. Això és perquè el moment d'inèrcia depèn de la distància des de l'eix de rotació.
- Patinador sobre gel : Un patinador que gira pot canviar la velocitat de la seva rotació en moure els braços cap a dins o cap a fora. Quan els braços s'acosten al cos, el moment d'inèrcia disminueix i gira més ràpid.
- Ventiladors de sostre : Els ventiladors tenen un moment d'inèrcia a causa de les aspes. Si les aspes són més grans o pesades, necessitaran més temps per aturar-se o accelerar-se.