A l'àmbit de la cinemàtica, l'acceleració angular s'erigeix com una pedra angular en la comprensió del moviment rotacional d'objectes tridimensionals.
Aquest concepte, que se submergeix en la velocitat angular i les derivades respecte al temps, desplega una complexitat matemàtica i conceptual que enriqueix l'apreciació de fenòmens que abasten des del desplaçament de les rodes d'un vehicle fins a la contemplació dels astres en la rotació còsmica. .
Aquest article té com a propòsit desvetllar els elements essencials de l'acceleració angular, posant en relleu la formulació matemàtica, les aplicacions pràctiques en l'enginyeria i l'astronomia, així com la vinculació intrincada amb el moment d'inèrcia i la llei de conservació del moment angular.
Què és lacceleració angular?
Per comprendre l'acceleració angular, primer ens hem de familiaritzar amb el concepte de velocitat angular. La velocitat angular és la rapidesa amb què un objecte gira al voltant d'un punt en un determinat interval de temps.
D'altra banda, l'acceleració angular és el canvi en la velocitat angular en funció del temps. En termes més simples, és la rapidesa amb què un objecte canvia la seva velocitat de rotació.
Fórmules i unitats
L'acceleració angular es mesura en radians per segon al quadrat (rad/s²). Per calcular-la, utilitzem la fórmula:
On
- α és l'acceleració angular
- Δω és el canvi en la velocitat angular
- Δt és el canvi en el temps.
Aquesta fórmula ens permet quantificar com canvia la velocitat de rotació dun objecte en un període donat.
Aplicacions pràctiques
L'acceleració angular no és només un concepte abstracte; té aplicacions pràctiques a la vida quotidiana i en camps tan diversos com l'enginyeria i l'astronomia.
Per exemple, considerem les rodes d‟un automòbil. Quan pressionem l'accelerador, apliquem un parell motor que indueix una acceleració angular a les rodes, fent que l'automòbil giri més de pressa.
A l'astronomia, l'acceleració angular també té un paper crucial. Els planetes, estrelles i galàxies estan en constant moviment de rotació.
Moment d'inèrcia
Per aprofundir en l'acceleració angular, cal esmentar el moment d'inèrcia (I), que és la mesura de la distribució de la massa d'un objecte en relació amb l'eix de rotació. El moment d'inèrcia és una peça clau del trencaclosques de l'acceleració angular, ja que determina com la massa d'un objecte afecta la capacitat per canviar la velocitat de rotació.
La relació entre el moment d'inèrcia, l'acceleració angular i el torc (la força que causa la rotació) està encapsulada a la fórmula següent:
τ = I · α
On τ és el torc aplicat a aquest objecte.
Aquesta equació revela la connexió íntima entre la distribució de la massa d'un objecte i la seva resposta a les forces que busquen fer-lo girar.
Conservació del moment angular
La conservació del moment angular és una llei que estableix que si no hi ha torcament extern aplicat a un sistema, el moment angular total del sistema roman constant. En altres paraules, la rotació d'un objecte o sistema no canviarà tret que s'apliqui un torc extern.
Aquesta llei té conseqüències sorprenents, des de l'explicació de la pirueta d'un patinador que redueix el moment d'inèrcia per girar més ràpid fins a l'estabilitat dels satèl·lits en òrbita, on la conservació del moment angular garanteix trajectòries predictibles.
Exercicis resolts d'exemple
A continuació es mostren 2 exemples d'exercicis senzills resolts sobre l'acceleració angular per comprendre l'ús de les fórmules:
Exercici 1: Càlcul de l'acceleració angular
Suposem que un disc gira amb una velocitat angular inicial de 3 rad/si experimenta una acceleració angular de 2 rad/s² durant 4 s. Volem determinar la velocitat angular final del disc.
Solució
Atesa la fórmula de l'acceleració angular:
On wf és la velocitat angular final i wi és la velocitat angular inicial, podem reorganitzar la fórmula per resoldre per a la velocitat angular final (ωf):
ω f = ω i + α ⋅ Δt
Substituïm els valors donats:
w f = 3 rad/s + ( 2 rad/s² ⋅ 4 s )
ω f = 3 rad/s + 8 rad/s = 11 rad/s
Per tant, la velocitat angular final del disc és 11 rad/s
Exercici 2: Moment d'inèrcia i acceleració angular
Suposem que tenim un cilindre sòlid de radi 0.5 mi massa 2 kg rodant per una superfície sense lliscament amb una acceleració angular de 4 rad/s². Volem determinar el moment de la inèrcia del cilindre.
Solució
El moment d'inèrcia (I) es relaciona amb l'acceleració angular (α) i el torc (τ) mitjançant la fórmula:
τ = I · α
Per a un cilindre sòlid que roda sense lliscament, el torc és igual al producte de la força neta i el radi del cilindre (τ=F⋅r). Aleshores, podem escriure:
F ⋅ r = I · α
Substituïm l'expressió per a l'acceleració angular:
F ⋅ r = I ⋅ 4 rad/s²
La força neta que actua sobre el cilindre és simplement el pes (mg). El radi (r) és 0.5 m. Substituïm aquests valors:
m ⋅ g ⋅ 0.5m = I ⋅ 4 rad/s²
Simplifiquem i resolem per
Substituïm m=2 kg ig=9.8m/s²
I=2.45kg⋅m²
Per tant, el moment d'inèrcia del cilindre és de 2.45 kg⋅m²
